Într-o progresie geometrică, raportul dintre doi termeni consecutivi este intotdeauna acelasi si este egal cu rația progresiei q.
In cazul nostru:
(x+3)/(3x-1) = (9-x)/(x+3) = q
Produsul extremilor = produsul mezilor, adica:
(x+3)^2 = (3x-1)(9-x)
x^2 + 6x + 9 = 27x - 3x^2 - 9 + x
x^2 + 6x + 9 = -3x^2 + 28x - 9
4x^2 - 22x + 18 = 0 |:2
2x^2 - 11x + 9 = 0
2x^2 - 2x - 9x + 9 = 0
2x(x - 1) - 9(x - 1) = 0
(x - 1)(2x - 9) = 0
Soluțiile ecuației sunt:
a) x - 1 = 0 => x = 1
b) 2x - 9 = 0 => 2x = 9 => x = 9/2
Proba:
a) Dacă x = 1, cei trei termeni ai progresiei vor fi 2, 4 si 8, iar rația progresiei este q = 4/2 = 8/4 = 2
b) Dacă x = 9/2, cei trei termeni ai progresiei vor fi:
3×9/2 - 1 = 27/2 - 1 = 27/2 - 2/2 = 25/2
9/2 + 3 = 9/2 + 6/2 = 15/2
9 - 9/2 = 18/2 - 9/2 = 9/2
iar rația progresiei este:
q = 15/2 : 25/2 = 15/2 × 2/25 = 3/5
q = 9/2 : 15/2 = 9/2 × 2/15 = 3/5
Așadar, exista doua solutii astfel incat cele trei numere sa fie in progresie geometrică: x = 1 sau x = 9/2
