Triunghiul ABC are AC = 5 cm și AC = 10 cm (cerința e greșită, cred că voiau să zică AB sau BC) și măsura unghiului BAC = 120°. În punctul A se ridică perpendiculara AM pe planul triunghiului astfel încât triunghiul MBC să fie dreptunghic în M. Aflați valoarea sinusului unghiului plan corespunzător unghiului diedru al planelor (BMC) și (ABC).
Salut! :( Am și eu nevoie de ajutor la această problemă de matematică. Am încercat să o rezolv în mai multe moduri, însă fără folos. Mulțumesc anticipat!

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

AB=10cm, AC=5cm, ∡BAC=120°.

Trasam AD⊥BC, D∈BC. Atunci, dupa T3⊥, ⇒MD⊥BC. atunci

sin(∡(BMC),(ABC))=sin(∡MDA)=MA/MD, deoarece BC⊥AD, BC⊥MD, deci BC⊥(MAD).

Din ΔABC, dupa T.Cosinusului, ⇒BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos120°= 5²+10²-2·5·10·(-cos60°)=25+100+2·5·10·(1/2)=175.

Deci BC=√175=√(25·7)=5√7.

Aria(ΔABC)=(1/2)·AB·AC·sin120°=(1/2)·5·10·sin60°=25√3/2

Aria(ΔABC)=(1/2)·BC·AD, deci (1/2)·5√7·AD=25√3/2, ⇒AD=5√3/√7

ΔMBC, dreptunghic in M, ⇒MC²+MB²=BC²=175.

Din ΔMAB, ⇒MB²=MA²+AB²=MA²+10².

Din ΔMAC, ⇒MC²=MA²+AC²=MA²+5²

Deci MA²+10²+MA²+5²=175, ⇒2·MA²=175-100-25, ⇒2·MA²=50, ⇒MA=5cm.

Din ΔMAD, ⇒MD²=MA²+AD²=25+25·(3/7)=25·(10/7) Deci MD=5√(10/7)

Atunci sin(∡MDA)=MA/MD=5:5√(10/7)=√(7/10)=sin(∡(BMC),(ABC)).