Calculati suma
3+5+7+........+999=?
Se rezolva prim metoda lui Gauss. Dau coroana​

[tex]\it 3=1+2\\5=2+3\\7=3+4\\9=4+5\\.\\.\\.\\999=499+500\\ ---------\\S=(1+2+3+\ ...\ +499)+(1+2+3+\ ...\ +500)-1 =\\ \\ =\dfrac{499\cdot500}{2}+\dfrac{500\cdot501}{2}-1=499\cdot250+250\cdot501-1=\\ \\ =250(499+501)-1=250\cdot1000-1=250000-1=249999[/tex]

Sau:

S = 3+5+7+ ... +999  ⇒ S+1= 1+3+5+7+ ... +999⇒

⇒ S+1 = (1+2+3+4+5+ ... +999)- (2+4+6+ ... +998) ⇒

S+1=999·100:2 -2·(1+2+3+ ... +499)=499500-2·499·500:2=

= 499500-249500 =250000

Deci, S+1=250000 ⇒ S = 250000-1 =249999

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Pentru clasa a IV-a, adaug 1 la sumă, apoi îl scad:

1 + 3 + 5 + 7 + ....... + 993 + 995 + 997 + 999  - 1 =

= ( 1+999) + (3+997) + (5+995) + ( 7+993) + ....... + (499+501) - 1

→ am folosit asociativitatea adunării, grupând câte 2 termeni a căror sumă este 1 000, iar din sumă scad 1

= 1 000 + 1 000 + 1 000 + 1 000 + ...... + 1 000 - 1 =

• Aflăm câte sume de 1 000 avem:

(1 + 999 ) ; 2 = 1 000 : 2 = 500  sume

= 500 × 1 000 - 1 =

= 500 000 - 1 =

= 499 999

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

S = 3 + 5 + 7 + ....... + 999   ( suma numerelor impare de la 3, cu raţia =2)

Stabilim câţi termeni are suma:

(999 - 3 ) : 2 + 1 = 996 : 2 + 1 = 498 + 1 = 499 termeni are suma

S = 499 × ( 3 + 999) : 2

S = 499 × 1002 : 2

S = 499 × 501

S = 249 999

-------------------------------------------------------------------------

• Sau calculăm suma numerelor de la 1 la 999, apoi scădem suma numerelor pare, dar şi pe 1 :

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....... + 999 -  ( 2 + 4 + 6 + ..... + 998 ) - 1

S = 999 × ( 1+999) : 2 - 2 × ( 1 +2+3+4+.....+499) - 1

S = 999 × 1000 : 2 - 2 × 499 × ( 1+499): 2 - 1

S = 999 × 500 - 499 × 500 - 1

S = 500 × ( 999 - 499) - 1

S = 500 × 500 - 1

S = 250 000 - 1

S = 249 999