12, cu EXPLICATIE, va rog!

Consider:

• f:ℝ→ ℝ, f(x) = x³ - 3x² + a

Calculez derivata pentru a afla semnul punctelor de extrem.

• f'(x) = 3x²-6x

Aflu punctele de extrem:

• f'(x) = 0 ⇒ 3x²-6x = 0 ⇒ 3x(x-2) = 0
• x = 0;  x = 2

f(0) = a,  f(2) = a-4

f(-ꝏ) = -ꝏ,  f(+ꝏ) = +ꝏ

Fac șirul lui Rolle:

x             |-ꝏ         0           2           +ꝏ |

f(x)          |-ꝏ         a          a-4         +ꝏ |

Șir Rolle |  -    x₁    +    x₂     -     x₃    +   |

Funcția are soluție doar între semne contrare (- +) sau (+ -).

Condițiile sunt:

a > 0 și a-4 < 0 ⇒ a > 0 și a < 4

⇒ a ∈ (0, 4)

Răspuns:

M = (0, 4)