Calculati masurile unghiurilor unui triunghi isoscel ABC stiind ca masura unghiului obtuz format de bisectoarele unghiurilor congruente este de 5 ori mai mare decat masura unghiului la varf.

Răspuns:

80°, 80°, 20°.

Explicație pas cu pas:

Fie AB baza Δisoscel, iar C este vârful lui. Atunci m(∡A)=m(∡B). Fie AD și BD bisectoare cu punctul D, intersecția lor. Atunci, din ipoteză, ⇒m(∡ADB)=5·m(∡C).  (1)

Din ΔABD, ⇒m(∡ADB)=180°-((1/2)·m(∡A)+(1/2)·m(∡B))=180°-m(∡A), deoarece (1/2)·m(∡A)=(1/2)·m(∡B).

Din ΔABC, ⇒m(∡C)=180°-2·m(∡A). Înlocuim în (1) , ⇒

180°-m(∡A)=5·(180°-2·m(∡A)) ⇒180°-m(∡A)=5·180°-10·m(∡A) ⇒

10·m(∡A) - m(∡A)=5·180°- 180° ⇒9·m(∡A)=4·180° ⇒m(∡A)=4·180°:9=80°=m(∡B). Atunci m(∡C)=180°-2·80°=20°.

Fie ΔABC- isoscel, AB = AC și ∡(BIC) = ∡ obtuz format de bisectoarele unghiurilor congruente/

[tex]\it Din\ \Delta BIC\ \Rightarrow(\widehat{BIC})=180^o-\dfrac{\hat B+\hat C}{2}=180^o-\dfrac{180^o-\hat A}{2}=\\ \\ \\ =\dfrac{360^o-180^o+\hat A}{2}=\dfrac{180^o+\hat A}{2}\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Se\ \c{s}tie\ c\breve{a}\ (\widehat{BIC})=5\hat A\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2)\ \Rightarrow \dfrac{180^o+\hat A}{2}=5\hat A \Rightarrow 180^o+\hat A=10\hat A \Rightarrow 180^o=9\hat A \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow \hat A=180^o:9=20^o[/tex]

[tex]\it \hat B=\hat C=\dfrac{180^o-20^o}{2}=80^o[/tex]