25. Arătaţi că numerele 2n+3 și 5n+7 sunt prime între ele pentru orice n numar natural.​

Răspuns:

dem mai jos.

Explicație pas cu pas:

 Inductie matematica completa:

* pt n=0: 3 si 7, ok, sunt prime intre ele

* pt n=1: 5 si 12 sunt prime intre ele

....

* presupunem ca 2k+3 si 5k+7 sunt prime intre ele

Vom demonstra ca si pt n=k+1 se verifica afirmatia ca numerele sunt prime intre ele:

2(k+1) + 3 = 2k+3 + 2 este primul nummar

5(k+1) + 7 = 5k+7 + 5 este cel de-al doilea.

 Cum 2k+3 si 5k+7 sunt prime intre ele, cf ipotezei de inductie, adunand la fiecare respectiv 2 si 5, care sunt si ele prime intre ele, vom obtine tot doua numere prime intre ele.

[tex]\it Fie\ d\in\mathbb{N}^*\ cu\ proprietatea:\\ \\ \left.\begin{aligned}{\it d|(2n+3) \Rightarrow d|(2n+3)\cdot5 \Rightarrow d|10n+15\\ \\ \it d|(5n+7)\Rightarrow d|(5n+7)\cdot2\Rightarrow d|10n+14}\end{aligned\right\}}\Rightarrow \it d|10n+15-10n-14 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow d|1\Rightarrow d=1 \Rightarrow (2n+3,\ 5n+7)=1\Rightarrow 2n+3\ \c{s}i\ 5n+7\ sunt\ prime\ \^{i}ntre\ ele[/tex]