10. Arătaţi că numerele –
n·(n+1)/2 si n×(n+1)×(n+2)/6
sunt nr naturale, oricare ar fi n, nr natural
​

Explicație pas cu pas:

Daca n=2k, k€N

(2k(2k+1))/2=k(k+1)€N

Daca n=2k+1, k€N

((2k+1)(2k+2))/2=((2k+1)(k+1)*2)/2=(k+1)(2k+1)€N

Pentru n(n+1)/2

Cazul 1) n=2k, k∈N => 2k(n+1)/2=k(n+1) care ∈ N

Cazul 2) n=2k+1, k∈N =>n(2k+2)/2=2n(k+1)/2=n(k+1) care ∈ N

1,2=>Numarul n(n+1)/2 ∈ N

Sau metoda pe scurt cum ca din 2 numere consecutive mereu unul va fi divizibil cu 2

Pentru n(n+1)(n+2)/6

Analog ca la primul doar ca in loc de n=2k, n=2k+1 si n=2k+2 vei avea n=3k, n=3k+1 si n=3k+2

Sau metoda pe scurt cum ca in orice 3 numere consecutive mereu vei gasi un numar divizibil cu 3 si un numar par divizibil cu 2, facand produsul vei obtine un numar divizibil cu 6.