Fie M mijlocul laturii AD a dreptunghiului ABCD cu AB=8 si AD=16. In punctul M se ridică perpendiculară ME =x pe planul dreptunghiului.
a) sa se calculeze distanta de la E la BD pentru x =8
b) sa se calculeze x pentru cazul cand treptele BE si DE sunt perpendiculare
c) sa se calculeze x pentru cazul cand triunghiul BED este isoscel
Multumesc anticipat!

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

M mijlocul laturii AD a dreptunghiului ABCD cu AB=8 si AD=16. ME⊥(ABC), ME=x.

a) x=8.  d(E,BD)=???

Trasăm MF⊥BD, F∈BD. După T3⊥, ⇒EF⊥BD. Deci d(E,BD)=EF.

ΔDAB~ΔDFM, ⇒AB/FM=DB/DM.  (*)

Din ΔABD, DB²=AB²+AD²=8²+16²=8²+8²·2²=8²·(1+2²)=8²·5. Deci DB=8√5.

Înlocuim în (*), ⇒8/FM=8√5/8, ⇒8/FM=√5, ⇒FM=8/√5.

Din ΔEMF, ⇒EF²=x²+FM²=8²+(8/√5)²=8²·(1+ 1/5)=8²·(6/5). Deci EF=8√(6/5)=(8/5)·√30.

b) x=?=ME, dacă BE⊥DE.

⇒ΔBED dreptunghic, ⇒BD²=BE²+DE² (**)

Din ΔBEM, ⇒BE²=BM²+x²=(8√2)²+x²=128+x². Din ΔDEM, ⇒DE²=x²+DM²=x²+8²=x²+64. Înlocuim în (**), ⇒(8√5)²=128+x²+x²+64, ⇒320=2x²+192, ⇒2x²=108, ⇒x²=54=9·6. Deci x=3√6.

c) x=???=EM, dacă ΔBED este isoscel.

BE>DE, deci BE=BD=8√5.

Din ΔBEM, ⇒x²=BE²-BM²=(8√5)²-(8√2)²=8²·5-8²·2=8²·(5-2)=8²·3.

Deci x=8√3.