Demontrati ca 3×3^2×3^3×3^4×...×3^20 este patrat perfect
Va rog,cat mai repede! ​

Răspuns:

·

Explicație pas cu pas:

3·3²·3³·3⁴·...·3²⁰=3ⁿ, unde aplicând Suma Gauss, obținem

[tex]n=1+2+3+4+...+20=\dfrac{(1+20)*20}{2}=21*10=21*5*2=105*2\\[/tex]

Deci  3ⁿ=(3¹⁰⁵)², deci este pătrat perfect.

[tex]\begin{aligned}3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4\cdot ...\cdot 3^{20} &= 3^{1+2+3+4+...+20} \\ &=3^{\frac{20\cdot (20+1)}{2}} \\ &= 3^{\frac{20\cdot 21}{2}} \\ &= 3^{10\cdot 21} \\ &=3^{2\cdot 5\cdot 21}\\ &= 3^{2\cdot 105}\\ &= \left(3^{105}\right)^2\end{aligned}[/tex]

⇒ Numărul este pătrat perfect.