Răspuns:
nu pot fi TOATE 3 SIMULTAN
Explicație pas cu pas:
√3<√5<√7
presupunem p a cu ratie pozitiva...altfel inversam relatia de ordine si consideram ratia negativa
√3 si √5 pot fi termeni ai unei progresii cu ratia (√5-√3)/q, q∈Q*
√5si√7 pot fi termeni ai unei progresii cu ratia (√7-√5)/p, p∈Q*
pt ca toti trei sa fie termeni ai unei p.a trebuie ca numarul de ratii dintre √5si√3 sa fie egal cu un raport rational (r=p/q) inmultit cu nr de ratii dintre √7 si√3
asta inseamna ca (√7-√5)/(√5-√3)=p/q∈Q
dar (√7-√5)/(√5-√3)=(√7-√5)(√5+√3)/(5-3) =(√35+√21-5-√15)/2∉Q, contradictie
deci numerele sqrt(3), sqrt(5) și sqrt(7) nu pot fi termeni ai unei progresii aritmetice.
desigur mai riguros era prin reducere la absurd
presupunem ca sunt..si ajungeam la contradictia de mai sus, deci nu sunt
