Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Cercetăm ΔBCD și ΔCBE în care BC=CB, CD=BE (D și E sunt mijlocurile laturilor AC și AB) și ∡BCD=∡CBE (unghiuri de la baza ΔABC isoscel).
Deci ΔBCD ≡ ΔCBE conform crit. LUL.
b) Dacă F=Sim(E)C, ⇒ CE=EF. Deoarece, și AE=BE, ⇒ patrulaterul ACBF este paralelogram. Atunci BC=AF și AF║BC.
La fel se arată că ABCG este paralelogram, deci AG=BC și AG║BC. Dar prin punctul A trece o unică dreaptă paralelă la BC, ⇒ A,F,G puncte coliniare și
c) FG=FA+AG=BC+BC=2·BC.
d) H=BD∩CE. În ΔFGH, deoarece BD=CE, ⇒ FE=GD, ⇒ΔAFE≡ΔAGD după LLL. Atunci ∡AFE=∡AGD, deci ΔFGH este isoscel, deci HA⊥FG, ⇒HA⊥BC, , deci A,H,N sunt coliniare, unde N∈BC, AN⊥BC. Deoarece AN este și bisectoare, ⇒(AH este bisectoare a ∠BAC a ΔABC isoscel cu baza BC.
