Răspuns:
a) Aria = 12x18 = 216
b) M se gaseste la o distanta de DP/3 de P si 2/3DP de D. Ducem prin M o paralela la AB care taie AD in N. ΔDMN si ΔDAP sunt asemenea fiind dreptunghice cu un unghi comun si laturile respectiv opuse lui paralele. Factorul de proportionalitate este DM/DP = 2/3. Putem deci scrie:
MN/AP = MN/(AB/2) = 2MN/AB = 2/3 => MN = AB/3 = 6, deci in Δ AMN, unde AN = 1/3 AD = 4 (asemanarea)
Trasam proiectia lui M pe AB, care o intersecteaza in O. AO = MN = 1/AB si MO + AN = 1/3AD
AM = √(AN² + MN²) = √((1/3AD)² + 1/3AB)²) = 1/3√(AD² + AB²) = 1/3 AC, de unde rezulta ca triunghiurile dreptunghice AOM si ABC sunt asemenea (toate laturile lor sunt in raport de 1/3) si deci unghiul lor comun este CAB, ceea ce plaseaza punctul M pe diagonala AC.
c) Aria triunghiului MPB se obtine scazand aria ΔMOP din aria ΔOMB:
A(MOP) = OMxOP/2 OP sete diferenta dintre 1/2AB (AP) si 1/3AB (AO) si este deci 1/6AB => A(MOP) = 1/6ABx1/3AD/2 = 1/36ABxAD = 6
A(OMB) = OMxOB/2 = 1/3ADx5/6AB/2 = 5/36ADxAB = 30
Deci A(MBP) = 30 - 6 = 24
