Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3·[tex]4^{x}[/tex] - [tex]6^{x}[/tex] = 2·[tex]9^{x}[/tex]

Răspuns:

{0}

Explicație pas cu pas:

3·4ˣ-6ˣ=2·9ˣ,  Ecuație simetrică/omogenă. 4ˣ=(2ˣ)², 9ˣ=(3ˣ)²,  6ˣ=2ˣ·3ˣ.

Împărțim ambele părți la 9ˣ, obținem  3·((2/3)ˣ)²-(2/3)ˣ=2.  Notăm (2/3)ˣ=y>0, => 3y²-y-2=0, ecuație de gradul 2. a=3, b=-1, c=-2.  Δ=b²-4ac=(-1)-4·3·(-2)=1+24=25>0, deci  y1=(1-5)/(2·3)=-4/6=-2/3, nu convine la y>0.

y2=(1+5)6=1, convine la y>0. Deci (2/3)ˣ=1, => x=0.

Multimea de solutii, S={0}.

Răspuns:

3*4ˣ - 6ˣ = 2* 9ˣ

<=> 3* (2²)ˣ - (2*3)ˣ = 2*(3²)ˣ

<=> 3* (2ˣ)² - 2ˣ * 3ˣ= 2* (3ˣ)²

<=> 3* (2ˣ)² - 2ˣ * 3ˣ - 2* (3ˣ)² = 0  | : (3ˣ)²   -- obs: (3ˣ)² >0, e pp.

<=> 3* (2ˣ/3ˣ) ² - 2ˣ * 3ˣ/ (3ˣ)² - 2=0

<=> 3* (2ˣ/3ˣ) ² - 2ˣ/3ˣ -2=0 <=> 3* [(2/3)ˣ]² - (2/3)ˣ -2=0

notez (2/3)ˣ= t,  t>0

ec. devine: 3*t² - t-2=0

Δ= (-1)²-4*3*(-2)=1+24=25 >0

t₁= 1+5/6= 6/6=1 >0

si t₂= 1-5/6= -4/6= -2/3<0

Deci, singura sol. e t=1 => (2/3)ˣ=1 <=> (2/3)ˣ=(2/3)⁰

                                                             cum 2/3 >0     ==> x=0 ∈ R