Să se determine valorile de adevăr ale următoarelor propoziții: c) (∃k∈Z) (((5k-3)/4∈Z) ∧ ((7k-2)/6∈Z))

Răspuns:

NU

Explicație pas cu pas:

deci daca gasim cel putin un k intreg,pt care ambele propozitii sa fie adevaratae,  propozitia este adevarata

5k-3=4s...k=(4s+3)/5, ∈Z..s∈{....-12; 3;18; 33;45;...}

si k∈{....-9;3;15;27...}  6k+3, impare

7k-2=6p  k=(6p+2)/7, k∈Z...p∈{...-5; 2; 9; 16...}

si k∈{....-6; 2;8;14;...} 6k+2, pare

de fapt e mai frumos...sunt succesive,

deci NU exista

Răspuns:

Propoziția este falsă.

Explicație pas cu pas:

(5k-3)/4 ∈ ℤ ⇒ 5k-3 = M₄ |-4k ⇒ k-3 = M₄  ①

(7k-2)/6 ∈ ℤ ⇒ 7k-2 = M₆ |-6k ⇒ k-2 = M₆  ②

Scad ② cu ① :

⇒ (k-2) - (k-3) = M₆ - M₄

⇒ 1 = M₆ - M₄ (Contradicție! Deoarece 1 este impar iar M₆ - M₄ este par.)

⇒ Nu există k ∈ ℤ pentru care ambele fracții să fie întregi.