Se considera ecuatia x² - x - a(a - 1) = 0, a ∈ |R a) Rezolvati ecuatia pentru a = 0 b) Determinati a ∈ |R, stiind ca ecuatia adminte solutia x₁ = 0 c) Aratati ca ecuatia are doua solutii reale pentru orice valoare a lui a. Va rog.

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Se considera ecuatia x² - x - a(a - 1) = 0, a ∈ |R

a) pentru a=0, ⇒ x²-x-0·(0-1)=0, ⇒x²-x-0=0, ⇒ x²-x=0, ⇒ x·(x-1)=0, ⇒ x=0 sau x-1=0. Deci x=0 sau x=1 sunt soluțiile. S={0; 1}

b) Daxă x1=0, ⇒ 0²-0-a(a-1)=0, ⇒ a·(a-1)=0, ⇒ a=0 sau a=1.

c) ecuatia are doua solutii reale pentru orice valoare a lui a, dacă Δ≥0.

Cazul Δ=0,  consideră că ecuația de gradul 2 are o soluție sau două soluții egale ....

x² - x - a(a - 1) = 0,  Δ=(-1)²-4·1·(-a)·(a-1)=1+4a·(a-1)=1+4a²-4a+1=(2a)²-2·2a·1+1²= (2a-1)². Deci Δ≥0 pentru orice a real.

p.s.  Dacă aveam ecuația x²-x-a·(a+1)=0, atunci, Δ=(2a+1)²>0 pentru orice a, deci ecuația va avea două soluții reale distincte.

vezi atașament.................