Am nevoie de problema 3 rezovata. Numai punctele b si c. ​

Răspuns:

·

Explicație pas cu pas:

b) a=2·(2²⁰⁰⁵)²+2²·2²⁰⁰⁵+2=2·((2²⁰⁰⁵)²+2·2²⁰⁰⁵+1)=2·(2²⁰⁰⁵+1)²=2·b², deci b divide a.

c) a=2·(2²⁰⁰⁵+1)²=2·(2²⁰⁰⁵-1+1+1)². a se divide cu 2. Rămâne să arătăm că (2²⁰⁰⁵+1)² se divide cu 9, adică 2²⁰⁰⁵+1 se divide cu 3.

Fie c= 2²⁰⁰⁵+1= 2²⁰⁰⁵-1+1+1=2²⁰⁰⁵-1+2. Folosind rezultatul din a), =>

c=1+2¹+2²+...+2²⁰⁰⁴+2=3+(2¹+2²)+(2³+2⁴)+...+(2²⁰⁰³+2²⁰⁰⁴)=3·1+2¹·(1+2)+2³·(1+2)+...+2²⁰⁰³·(1+2)=3·(1+2¹+2³+...+2²⁰⁰³), deci c e divizibil cu 3, deci 2²⁰⁰⁵+1 este divizibil cu 3, atunci (2²⁰⁰⁵+1)² este divizibil cu 9, iar 2·(2²⁰⁰⁵+1)² este divizibil cu 18.

Atunci 18 divide pe a.

a = 2⁴⁰¹¹+2²⁰⁰⁷+2

b = 2²⁰⁰⁵+1

b) Aplic metoda împărțirii cu rest pentru polinoame:

2⁴⁰¹¹+2²⁰⁰⁷+2 | 2²⁰⁰⁵+1

-2⁴⁰¹¹-2²⁰⁰⁷     | 2²⁰⁰⁶+2

--------------------------------

/ 2²⁰⁰⁷-2²⁰⁰⁶+2 =

= 2²⁰⁰⁶+2

-2²⁰⁰⁶-2

-------------------------

  /      /

⇒ a = (2²⁰⁰⁵+1)(2²⁰⁰⁶+2)

⇒ a = b·(2²⁰⁰⁶+2)

⇒ b | a

c) 2⁴⁰¹¹+2²⁰⁰⁷+2 = (2³)¹³³⁷ + (2³)⁶⁶⁹ + 2 =

= (9 - 1)¹³³⁷ + (9 - 1)⁶⁶⁹ + 2 =

= (M₉ - 1¹³³⁷) + (M₉ - 1⁶⁶⁹) + 2 =

= M₉ - 1 + M₉ - 1 + 2 =

= M₉ + M₉ - 2 + 2 =

= M₉

Dar 2⁴⁰¹¹+2²⁰⁰⁷+2 este par:

⇒ 2⁴⁰¹¹+2²⁰⁰⁷+2 = M₂·M₉

⇒ 2⁴⁰¹¹+2²⁰⁰⁷+2 = M₁₈

⇒ 18 | a