Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Se cere sa se arata ca numarul A este divizibil cu 3 ; 5 ; 7 sau 15
A = 1 + 2¹ + 2² + ......+2¹²⁴
---------------------------------
Pentru a fi divizibil macar cu unul din cele 4 numere date ,
aranjam termenii in asa fel incat sa putem la final sa dam factor comun.
Observam ca numarul A are de fapt 125 de termeni .
Se poate imparti in grupuri de cate 5 .
A = (1+2¹+2²+2³+2⁴) + 2⁵(1+2¹+2²+2³+2⁴) + 2¹⁰(1+2¹+2²+2³+2⁴)+....
......+ 2¹²⁰(1+2¹+2²+2³+2⁴) = 31·(2⁰+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰)
Deci A este divizibil cu 31
A = 31·(1+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰)
Verificam daca 1+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰ este divizibil cu unul din numere
u(2⁵) = 2 ; u(2¹⁰) = 4 ; u(2¹⁵) = 8 ; u(2²⁰) = 6
Acestea se repeta din 4 in 4 ; 120 = 30·4
u(1+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰) = u(1+(2+4+8+6)·30) = 1
Am eliminat posibilitatea ca numarul A sa fie
divizibil cu 5 sau cu 15 .
Pentru a verifica daca este divizibil cu 3 sau cu 7
am calculat suma 2⁰+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰ .....
Mai jos in cele 3 poze am demonstrat ca numarul
2⁰+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰ nu este divizibil nici cu 3 , nici cu 7 =>
nici numarul A nu este divizibil cu cele doua numere.
Mai jos am concluzionat ca poate enuntul a fost
gresit si am inlocuit numarul A din enunt astfel:
A = 1 + 2¹ + 2² + ......+2¹²³
A = 2⁰(1+2¹+2²+2³) + 2⁴(1+2¹+2²+2³) +2⁸(1+2¹+2²+2³)+.....+2¹²⁰(1+2¹+2²+2³)
A = (1+2¹+2²+2³)·(2⁰+2⁴+2⁸+.....+2¹²⁰)
A = (1+2+4+8)·(2⁰+2⁴+2⁸+.....+2¹²⁰)
A = 15·(2⁰+2⁴+2⁸+.....+2¹²⁰) =>
A este divizibil cu 3 ; cu 5 si cu 15.
