considerăm paralelogramul ABCD, AB > BC, astfel încât bisectoarele unghiurilor BAD si ABC se intersectează în punctul P € DC. Dacă M și N sunt mijloacele segmentelor AP respectiv BP, determinanți valoarea raportului dintre lungimea segmentului MN și perimetrul paralelogramului ABCD
​

Răspuns:

1/6

Explicație pas cu pas:

MN - linie mijlocie în ΔAPB, ⇒AB=2·MN. (1)

(AP - bisectoare, ⇒ ∡BAP=∡DAP.  AB║CD, ⇒∡BAP=∡DPA (alterne interne), deci ∡DAP=∡DPA, ⇒ΔADP isoscel cu baza AP, ⇒AD=PD. (2)

(BP - bisectoare, ⇒ ∡ABP=∡CBP.  AB║CD, ⇒∡ABP=∡CPB (alterne interne), deci ∡CBP=∡CPB, ⇒ΔBCP isoscel cu baza BP, ⇒CB=CP. (3)

Deoarece AD=BC, din (2),(3), ⇒ PD=PC=(1/2)·CD, deci AD=(1/2)·AB=MN.

Atunci, Perimetrul P(ABCD)=2·(AB+AD)=2·(2MN+MN)=2·3MN=6·MN.

Atunci, raportul MN/P(ABCD)=MN/(6·MN)=1/6.