Răspuns:
Explicație pas cu pas:
aducem la numitorul comun 6, amplificand prima fractie cu 2 si a 2a fractie cu 3:
[tex]\frac{a}{3}[/tex] + [tex]\frac{a^{2}}{2}[/tex] + [tex]\frac{a^{3}}{6}[/tex] = [tex]\frac{2a+3*a^{2} + a^{3}}{6}[/tex]
dam factor comun pe a:
[tex]\frac{a(a^{2} + 3a + 2)}{6}[/tex]
[tex]a^{2}[/tex] + 3a + 2 = a^2 + 2a + a + 2 = a(a+2) + (a+2) = (a+2)(a+1)
-> [tex]\frac{a(a+1)(a+2)}{6}[/tex]
fractia de mai sus apartine lui Z, daca numaratorul e divizibil cu 6, ori numaratorul e un produs de 3 numere consecutive: a, a + 1, a + 2;
un numar e divizibil cu 6 daca e divizibil si cu 2 si cu 3;
din 3 numere consecutive, cel putin unul e multiplu de 2 si altul e multiplu de 3 (ex: 9*10*11, 14*15*16) -> a(a+1)(a+2) e divizibil si cu 2 si cu 3, deci e divizibil cu 6, rezulta [tex]\frac{a(a+1)(a+2)}{6}[/tex] ∈ Z
