cred ca se reduce ecuatia modulo 3, dar nu sunt sigur..
50 de puncte!

Răspuns:

Am redus ecuatia modulo 6 și am obținut soluția unică a=b=k=3,c=2.

Răspuns:

(a,b,c,k)={(3;3;2;3); (3;37;3;13); (3;17;3;7); (37;3;3;13); (17;3;3;7)}

Explicație pas cu pas:

9k²+ 1=M3+1

=>a²+b²+16c²=M3+1

a²+b²+ c²=M3+1

un p.p.≠M3+2

=>a²={M3; M3+1}; b²={M3; M3+1}; c²={M3; M3+1}  (1)

a, b, c sunt numere prime (2)

Din (1( și (2)=>două numere dintre a,b,c  sunt egale cu 3.

Cazul 1.  a=b= 3

9+9+16c²=9k²+1

9k²−16c²= 17; (3k−4c)(3k+4c) = 17

=> 3k−4c= 1

    3k+ 4c= 17 (+)

           6k=18=> k=3

9-4c=1=> c=2

(a,b,c,k)=(3, 3, 2, 3)

Cazul 2.  a=c= 3

9+16*9+b²=9k²+1

9k²−b²= 152; (3k−b)(3k+b) = 152

=> 3k−b=2

    3k+ b= 76  (+)

         6k=78=> k=13

39-b=2=> b=37

(a,b,c,k)=(3, 37, 3, 13)

3k−b=4

3k+ b= 38 (+)

    6k=42=> k=7

21-b=4=> b=17

(a,b,c,k)=(3, 17, 3, 7)

3k−b=8

3k+ b= 19 (+)

    6k=27, nu convine

Cazul 3.  b=c= 3

a²+9+16*9=9k²+1

9k²−a²= 152; (3k−a)(3k+a) = 152

(e ca în cazul 2, doar se inversează a  și b)

=> (a,b,c,k)={(37, 3, 3, 13);(17, 3, 3, 7)}