Răspuns:
a=b
Explicație pas cu pas:
Încercăm să calculăm diferit a și b.
Pentru a:
a = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹¹ |•2
2a = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰¹²
2a - a = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰¹² -
(1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹¹)
Observăm că dacă grupăm termenii convenabil, mulți dintre aceștia se reduc:
a = (2-2) + (2²-2²) + ... + (2²⁰¹¹-2²⁰¹¹) + 2²⁰¹² - 1
a = 0 + 0 + ... + 0 + 2²⁰¹² - 1
a = 2²⁰¹² - 1 => a+1 = 2²⁰¹² (relația 1)
Încercăm să calculăm într-un mod asemănător și suma b:
b = 3(1 + 4 + 4² + ... + 4¹⁰⁰⁵) |•4
4b = 3(4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰⁶)
4b - b = 3(4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰⁶)-
3(1 + 4 + 4² + ... + 4¹⁰⁰⁵)
3b = 3[(4-4) + (4²-4²) + ... + (4¹⁰⁰⁵-4¹⁰⁰⁵) + 4¹⁰⁰⁶ - 1]
3b = 3(0 + 0 + ... + 0 + 4¹⁰⁰⁶ - 1)
3b = 3(4¹⁰⁰⁶ - 1) |:3
b = 4¹⁰⁰⁶ - 1 => b+1 = 4¹⁰⁰⁶ = 2²⁰¹² (relația 2)
Din relațiile (1) și (2) => a+1=b+1=2²⁰¹² => a=b
Dacă ești interesat/ă, aceste tipuri de sume de pot calcula direct cu ajutorul unei formule.
Se definește șirul x(n) cu n€N* (adică x(1), x(2), ..., x(n)), cu x(1) dat, prin relația x(k)=q•x(k-1), unde k€{2, 3, ..., n}.
Șirul x(n) se numește progesie geometrică de rație q.
Atunci, suma termenilor șirului este:
S(n) = x(1) × (qⁿ-1)/(q-1)
Spre exemplu, aplicând formula pentru prima sumă:
( q=2 ; x(1)=1 ; n=2012)
S = 1 • (2²⁰¹²-1)/(2-1) = 2²⁰¹² - 1 (adevărat)
