[tex]\it \Delta VNQ-sec\c{\it t}iune\ diagonal\breve a\ a\ piramidei\ \c si\ triunghi\ echilateral\ \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \mathcal{A}_{VNQ} =\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4} \Rightarrow 18\sqrt3=\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4}|_{:\sqrt3}\ \ \Rightarrow 18=\dfrac{\ell^2}{4} \Rightarrow \ell^2=4\cdot18=\\ \\ \\ =4\cdot9\cdot2 \Rightarrow \ell=\sqrt{4\cdot9\cdot2} \Rightarrow \ell=2\cdot3\sqrt2 \Rightarrow \ell=6\sqrt2 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow NQ=6\sqrt2cm[/tex]
Fie F - mijlocul muchiei PQ, deci OF = apotema bazei
NQ este diagonala pătratului MNPQ, deci:
[tex]\it NQ=NP\sqrt2 \Rightarrow 6\sqrt2=NP\sqrt2 \Rightarrow NP=6cm\\ \\ OF-apotema\ bazei \Rightarrow OF=\dfrac{NP}{2}=\dfrac{6}{2}=3cm[/tex]
ÎnălțimeaVO a piramidei este și înălțime pentru triunghiul VNQ,
despre care știm că e echilateral, deci:
[tex]\it h=VO=\dfrac{\ell\sqrt3}{2}=\dfrac{6\sqrt2\sqrt3}{2}=3\sqrt6cm[/tex]
Pentru a afla apotema piramidei, care este VF, se fololește
teorema lui Pitagora în triunghiul VOF, dreptunghic în O.
[tex]\it VF^2=VO^2+OF^2=(3\sqrt6)^2+3^2==3^2\cdot6+3^2=3^2(6+1)=3^2\cdot7 \Rightarrow \\ \\ a_p=VF=\sqrt{3^2\cdot7}=3\sqrt7[/tex]
