Un număr natural împărțit la 9 dă restul 5 și împărțit la 10 dă restul 7, ce rest va da numărul împărțit prin 90?

[tex]\displaystyle\bf\\fie~n~\in~\mathbb{N^*}.\\n:9=c_1,~rest~5 \implies n=9c_1+5 \Big |\cdot10 \implies 10n=90c_1+50. \\n:10=c_2,~rest~7\implies n=10c_2+7 \Big |\cdot 9 \implies 9n=90c_2+63.\\10n-9=n=90c_1+50-90c_2-63=90(c_1-c_2)-13.\\n=90(c_1-c_2)-13~\Big | +90\implies n+90=90(c_1-c_2)+77.\\cumm~77<90 \implies n+90~da~restul~77~la~impartirea~cu~90,~dar~\\n+90~si~n~dau~acelasi~rest~la~impartirea~cu~90,~anume~77.[/tex]

Răspuns:

mai jos :)

Explicație pas cu pas:

Fie n - numărul căutat

n : 9 = c₁ rest 5 ⇒ n = 9 × c₁ + 5 | × 10

n : 10 = c₂ rest 7 ⇒ n = 10 × c₂ + 7 | × 9

_____________

10n = 90 × c₁ + 50

9n = 90 × c₂ + 63

_____________

n = 90 × (c₁ - c₂) - 13

n = 90 × (c₁ - c₂ - 1) + 90 - 13

n = 90 × (c₁ - c₂ - 1) + 77

90 → împărțitorul

c₁ - c₂ - 1 → câtul

77 → restul